メールアドレス認証用のリンクを開くと「認証が完了している」旨表示されるものの、記事を投稿しようとすると「メールアドレスの認証をしてください」と表示される場合、認証が完了しているアカウントと現在ログインしているアカウントが異なる可能性が考えられます。
noteでは、1つのメールアドレスは必ず1つのアカウントとのみ紐づいています。
例えば、 https://note.com/settings/account にアクセスすることで、現在ログインしているアカウントの登録メールアドレスを確認することができます。
もし認証が完了しているメールアドレスと異なる場合は、一度noteからログアウトし、認証したいメールアドレスとnoteのパスワードでログインし直したうえで、当該メールアドレスで認証を行ってみてください。